北师大版七下册数学2.4《用尺规作角》知识点精讲

教学目标

【知识与能力目标】能用尺规作一个角等于已知角；理解文字语言与图形语言的转换；

【过程与方法目标】经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识；

【情感态度价值观目标】使学生在积极参与探索、交流、推理、归纳等数学活动中，进一步体会数学的严密性，提高自己的逻辑思维能力。

教学重难点

【教学重点】能用尺规作一个角等于已知角；

【教学难点】作图步骤和作图语言的叙述。

课前准备

【教师准备】课件、学案（每生一份）；

【学生准备】直尺、圆规、铅笔、练习本。

教学方法

       学生动手操作，小组合作交流，微课辅助教学

教学过程

一、导入

【生活情境】设计平行四边形

班级布置照片墙，需要长方形、正方形、圆形、平行四边形等各种图形的纸板。负责设计的班长遇到了难题，平行四边形如何裁出呢？

【数学问题】过一点作已知直线平行线

班长找来一个长方形木板，准备在上面截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB。

过C点画出与AB平行的另一条边CD，你有多少种方法？

【问题解决】学生尝试多种方法

1.用直尺与三角板画平行线。

2. 用量角器画一个相等的角。

（依据：同位角相等 两直线平行）

有其他做法，只要合理即给予肯定鼓励。

小结：过直线外一点作已知直线的平行线，相当于过这点作一个与已知角相等的同位角。

【问题变式】摆脱平行四边形的背景，已知一个角，让你作一个角等于这个角（已知角与所求作的角未必在一个平行四边形内，甚至未必在同一平面内），你还能用哪些方法？

【问题升级】尺规作图

如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？

【温馨提示】“尺”“规”各有什么功能？

尺—画直线、射线、线段

规—画圆、弧、截取线段

二、回顾

【提出问题】之前的学习中，曾经用尺规作过什么图形？

怎样利用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段?

已知：线段a．求作：线段AB ，使A B＝a．

【尝试练习】学生独立完成，并简单交流。

三、新课

【学生探究】如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能作一个角等于已知角吗？ 

已知：∠AOB．求作：∠A\\\\\\'O\\\\\\'B\\\\\\'，使∠A\\\\\\'O\\\\\\'B\\\\\\' =∠AOB．

学生先尝试独立思考，然后小组内交流探究。

【温馨提示】1.为了作出这个角，显然需要先作_________。

2.为了作出另一边，只需要确定_________。

3.分析刚才作图的方法，如何用尺规达到同样的效果？

【汇报展示】找若干小组代表上台展示，并讲解作图步骤。

附：作法与示范： 

（1）作射线 O\\\\\\'A\\\\\\' ；

（2） 以点 O 为圆心，以任意长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；

（3） 以点 O\\\\\\' 为圆心，以 OC 为半径画弧，交 O\\\\\\'A\\\\\\' 于点 C\\\\\\' ；

（4） 以点 C\\\\\\' 为圆心，以 CD 长为半径画弧，交前面的弧于点 D\\\\\\' ；

（5） 过点 D\\\\\\' 作射线 O\\\\\\'B\\\\\\'。∠ A\\\\\\'O\\\\\\'B\\\\\\' 就是所求作的角。

【视频总结】

问题解决

用尺规过点C作CD∥AB。

四、练习

【练习1】已知∠1，∠2，利用尺规作图，比较它们的大小。

口述作法、保留作图痕迹。

【练习2】已知∠1，∠2，求作：∠AOB，使得∠AOB= ∠1+∠2。

变式：你会作两个角的差吗？

【练习3】已知∠AOB，利用尺规作∠A\\\\\\'O\\\\\\'B\\\\\\'，使∠A\\\\\\'O\\\\\\'B\\\\\\' =2∠AOB。 

五、应用

        打台球时，球的反射角总是等于入射角。反弹之后，红球能被击入右下角的袋中吗？(用尺规作图检验)

六、拓展

【尺规作图的历史】

中国--“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字。“矩”就像木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股。矩的使用始于大禹治水时期；在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.

外国--古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.

八种基本尺规作图：

1. 作一条线段等于已知线段

2. 作一个角等于已知角

3. 作已知线段的垂直平分线

4. 作已知角的角平分线

5. 过一点作已知直线的垂线

6. 已知一角、一边作等腰三角形

7. 已知两角、一边作三角形

8. 已知一角、两边作三角形

尺规作图不能问题：倍立方问题、化圆为方问题、三等分角问题

               【尺规作图设计图案】

七、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

1。用尺规作一个角等于已知角；

2。用尺规作一个角等于已知角的和、差、倍；

3。借助于已经学过的用尺规作线段和角来设计图案。

八、作业

用尺规作下面的图形：

教学反思

      对于尺规作图，除了掌握作图方法，它实际上是对图形性质认识的一个具体应用，即判断一个图形的条件的应用。《标准（2011年版）》要求“在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹”，像证明要做到“言必有据”一样，作图也要做到有根有据。从这个意义上讲，尺规作图实际上是实践操作与推理论证的有机结合。不同的尺规作图，其“道理”可能是一样的。比如，用尺规作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线和作线段的垂直平分线，作图过程本质上都可以看成是构造等腰三角形。

       此外，尺规作图与图形的判定有着本质的联系。比如，尺规作一个角等于已知角，根据三角形全等判定“SSS”；又如根据给定的条件做一个确定的三角形，就与判定两个三角形全等的“SSS、SAS、AAS、HL”有着本质的联系；有时作图也是说理的一种重要手段，已知两边和一边的对角，作出的三角形不唯一，从而说明了判定三角形全等的方法中没有所谓的“SSA”。

本节课的设计思路：

         问题情境：首先从生活中的实际情境“班长设计班级照片墙，遇到平行四边形的设计难题”，从而引出数学问题“过一点作已知直线的平行线”，以学生自身和周围环境中的问题作为知识学习的切入点，突出了数学与现实世界的联系，以及知识探究的需求，引发学生的学习欲望。

        问题串：由浅入深，提出一系列有思维层次和不同理解深度的问题，由可以借助生活中任何工具来作平行线，到只允许用没有刻度的直尺和圆规来完成，然后回顾之前学习中曾经探究过的尺规作图，作好知识铺垫；把作平行线的问题转化为作相等的角的问题，并引发学生挑战的欲望，力图使每一位学生都能投入到探究活动中，不同的人得到不同的收获。

         数学活动：按照《标准》的课程理念，学生的数学学习应当是一个“生动活泼的，主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，通过学生动手操作，合作探究引发学生的数学思考。”因此，在探究环节，我的设计是，依据学生已有的尺规作图的知识背景和活动经验，提供教材中的操作示例、作法描述，以自主探索、合作交流等方式进行主动式的学习活动，在交流展示中掌握尺规作一个角等于已知角的操作过程，并理解文字语言与图形语言的转换，会进行作图步骤和作图语言的叙述。

        视频总结：插入天元数学网提供的助学视频，既是对尺规作一个角等于已知角的操作步骤、语言叙述的总结提升，又是对天元数学网助学功能的展示介绍，让学生了解天元、用好天元、爱上天元。

         思考应用：呼应开头，解决班长在长方形纸板上裁出平行四边形的问题，完成发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程；多角度练习（比较角的大小、作角的和、差、倍）以及台球中的应用等，提高学生理解数学的水平、综合运用数学知识的能力；最后的尺规作图的历史，让学生了解起源、发展，激发兴趣，拓宽视野；尺规设计图案，虽与尺规作角关系不是很大，但可以进一步激发学生欣赏美、创造美的追求，培养创新能力的发展，进一步提升学生应用数学的核心素养，也