高中数学《1 走进数学建模》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

一、数学建模概念

数学模型是一种模拟。是用数学符号、公式、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某种客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。

数学模型一般并非现实问题的直接翻版。它的建立常常既需要人们对现实问题深入细致地观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模(mathematical modeling)。

二、数学建模背景

数学建模是对现实问题进行抽象、用数学的语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角首先发现问题、提出问题、分析问题，其次建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型并最终解决实际问题。

三、数学建模步骤

1.提出问题：实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的，原始的问题往往是一个希望得到优化的期待，这就需要透过现象，明确地提出问题。

2.建立模型：在一定的知识积累的基础上，预测建立的数学模型，抓住主要因素，摒弃次要因素，做出适当简化和假设。

3.求解模型：这个过程是求解数学的问题，值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得准确值，这就需要求近似解。

4.检验结果：用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际。如果不符合实际情况，就要重新建模。

视频教学：

练习：

课件：

教案：

【教学目标】

知道数学建模的概念与意义.

【教学重难点】

实际问题的数学建模.

【教学过程】

一、激趣导入

实际问题：普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城（现为俄罗斯的加里宁格勒）.普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图.

岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步.在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的

出发每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解.这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.

二、新知探究

1．实际问题的数学表述

七桥问题引起了数学家欧拉的极大兴趣.他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？

首先，欧拉想到的是列举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证.但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5000多种，并且这种方法不具有通用性.

经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图的图形.实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型.

2．数学问题的解决

欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”.“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点.有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点.若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点.

一笔画定理：一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：

（1）图形是连在一起的，即是连通图形；

（2）图形中的奇点个数为0或2．

3．用数学结论解答原问题

在七桥问题中，四个点全是奇点，不能一笔画，即不可能一次无重复地走完七座桥.

1735年，欧拉把研究论文“The solution of a problem relating to the geometry of position”提交到圣彼得堡科学院，1741年发表在《圣彼得堡科学院通讯》上，开创了图论和拓扑学两门新的学科.

欧拉对实际问题进行抽象概括，用数学的语言（模型）把实际问题转化为数学问题，又用数学的思想方法分析、解决了这个问题，这个过程就是数学建模.

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