高中数学《3.2 等比数列的前n项和》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
备注：
针对等比数列，无论题目中给出何种条件的等式，最终均可以根据公式化成只有a1跟q两个未知量，从而进行求解。
2等比中项
如果2m=p+q，则a2m=ap·aq
备注：
题目中如果给出三项的积，通常都可求出中间项为多少。例如已知等比数列a1·a2·a3=8，即可知a2=2，因为a2是a1跟a3的中间项；再如已知等差数列a1·a5·a9=64，即可知a5=4，因为a5是a1跟a9的中间项
推论：如果m+n=p+q，那么一定有am·an=ap·aq
1.如果{an}是等比数列，Sn是数列{an}前n项和，那么Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，……也是成比差数列
例题：
已知等比数列{an}，Sn是它的前n项和，S6/S3=3，求S12/S3=？
解析：
根据上面性质可知，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9也是成等比数列，令S3=m，则S6=3m，则这个新的等比数列的首项是m(S3)，第二项是2m(S6-S3)，所以公比d=2m/m=2，即可算出第三项S9-S6=4m，又S6=3m，所以S9=7m，同理可算出S12=15m，则S15/S3=15
变式：
等比数列{an}中，若a1+a2=324，a3+a4=36，则a5+a6=?
2.如果{an}是等比数列，公比为q，每隔k项之后( am , am+k , am+2k, am+3k ……)也是等比数列，公差为qk
视频教学：
练习：
课本温习
1. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，a6＝32，则S3＝( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 若{an}为等比数列，且a2＝6，S3＝26，则{an}的通项公式an＝( )
A. 2×3n－1 B. 2×33－n
C. 2×3n－1或2×33－n D. 以上都不对
3. 已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是( )
A. 2 019 B. 1 023 C. 2 046 D. 3 069
4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( )
A. －19 B. 19 C. 16 D. 13
5. 已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于( )
A. －6(1－3－10) B. 19(1－3－10)
C. 3(1－3－10) D. 3(1＋3－10)
固基强能
6. 已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，则前10项和为( )
A. 33 B. 36 C. 39 D. 65
7. (多选)已知正项等比数列
A．
8. (多选)已知等比数列
A．数列
C．数列
9. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.
则{an}的通项公式为 ；Sn= ．
10. 已知等比数列{an}中，a1＝13，公比q＝13.
(1) Sn为数列{an}的前n项和，求证：Sn＝1－an2；
(2) 设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
课件：
教案：
【教学目标】
1. 理解并掌握等比数列前n项和公式，并会应用公式解决简单的问题．
2.逐步熟练等比数列通项公式与前n项和公式的综合应用，培养学生的运算能力．
3. 通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透类比与转化的思想．
【教学重点】
等比数列前n项和公式的应用．
【教学难点】
等比数列前n项和公式的推导和灵活运用．
【教学方法】
本节课在公式推导中宜采用类比教学法和自主探究教学法．师生共同参与整个教学活动，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师在引导的同时，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．
【教学过程】
环节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
导 入 | 印度一国王与国际象棋发明家的故事：发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？ | 教师讲故事，并提出问题． 学生分组合作探究．学生用计算器依次算出各项的值，然后再求和． 教师对他们的这种思路给予肯定． | 利用学生好奇心理，让学生去经历知识的形成与发展过程，便于调动学生学习本节课的积极性． |
新 课
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| 1．求数列1，2，4，…，262，263的各项和 数列1，2，4，…，262，263是以1为首项，2为公比的等比数列，前面的问题应归结为求这个数列前64项的和，可表示为 S64 = 1+2+4+8+…+262 +263． ①
2S64 = 2+4+8+…+263 +264． ②
①－②，得到 S64 －2S64 = 1－2 64． 即 (1－2)S64 = 1－2 64． S64 = ．
2．等比数列的前n 项和公式． 当q≠1时，Sn = ； 当q =1时，Sn = n a1．
等比数列的前n项和公式，包含四个变量，只要知道其中任意三个，就可求出第四个．
例1 求等比数列，，，…的前8项的和． 解 因为a 1=，q= = ，n=8， 所以S8 = = ． 练习 根据下列各组条件，求相应的等比数列{an }的Sn： （1）a1＝3，q＝2，n＝6； （2）a1＝8，q＝，n＝5．
例2 等比数列{an}的公比 q=－，前4项的和，求这个等比数列的首项． 解 根据等比数列前n项和公式及已知条件可得 ＝， 解得a1=． 即首项为． | 师：数列1，2，4，…，262，263是个什么数列？有何特征？前面的问题应归结为什么数学问题呢？ 学生思考回答．
师：让我们寻找一种更简单的解决这个问题的办法吧． 师：观察①式中的各项有何联系？ 学生会发现，后一项都是前一项的2倍． 师：如果我们把每一项都乘公比2，得到②式，请观察各项发生了什么变化？与①式有什么联系？ 学生发现，除最后一项外，每一项都变成了①的后一项． 教师继续引导学生比较、探究：①、②两式有许多相同的项，用什么办法可以把相同的项消掉？ 学生会想到把两式相减，消去相同的项． 教师板书推导过程，得出求和公式． 教师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程后反思：为什么①式两边要同乘2呢？
教师顺势引导学生将结论一般化． 等比数列的前n 项和公式要分q≠1与q =1时两种情况讨论． 请学生说出公式中包含的变量：a 1，q ，n，Sn ．
学生独立思考，自主解题． 师生共同总结解法． 教师订正评价．
学生练习，教师巡视指导．
教师出示例2，引导学生分析题意，写出已知、所求，自主解答． 请学生在黑板上板演． 师生共同订正．
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教学中，繁难的求解过程激起学生急于探求新方法的欲望，为后面的教学埋下伏笔．
留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和公式的推导关键是错位相减，培养学生的辩证思维能力．
让学生在化繁为简的过程中，充分感受到数学的简洁性．
培养学生分类讨论的意识．
在教师的引导下，让学生从特殊到一般，完成公式的探究．
通过对例题的解答，强化对公式的掌握．
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小 结 | 等比数列的前n项和公式： 当q≠1时，Sn = ； 当q =1时，Sn = n a1． | 学生阅读课本P21～P22，畅谈本节课的收获． 教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法． | 教师鼓励学生积极回答，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力． |
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