北师大版七下册数学第五章 生活中的轴对称 知识点精讲
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要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
3.角平分线
角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：
前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
一、轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。
3、性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
二、等腰三角形
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）
（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
作法：作已知线段的垂直平分线。
已知：线段AB
求作：AB的垂直平分线。
作法：
（１）分别以A、B为圆心，大于AB/2的长为半径作弧两弧相交于点C和D；
（２）作直线CD．则直线CD就是线段AB的垂直平分线。
四、角平分线的性质：
1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）在OA和OB分别截取OM，ON使OM=ON
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
（3）作射线OP。射线OP就是∠AOB的角平分线。
五、轴对称的性质
1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
六、尺规作图
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
复习教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.进一步认识轴对称及其基本性质.
2.进一步了解基本图形的轴对称性.
3.按要求能够作出简单平面图形经过轴对称后的图形.
4.能利用轴对称进行一些图案设计.
（二）能力训练要求
1.通过回顾进一步认识轴对称及它的基本性质.掌握对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质.
2.通过回顾进一步了解基本图形（线段、角、等腰三角形）的轴对称性及其相关性质.
3.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴.
4.能欣赏现实生活中的轴对称图形，利用轴对称能进行一些图案设计.
（三）情感与价值观要求
1.通过回顾与思考的活动，让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，并且增进学生学习数学的兴趣.
2.通过回顾与思考的活动，进一步发展空间观念和审美意识.
●教学重点
轴对称的基本性质，欣赏并体验轴对称在现实生活中的广泛应用.
●教学难点
欣赏并体验轴对称在现实生活中的广泛应用.
●教学方法
小组讨论法.
●教具准备
投影片两张
第一张：问题串（记作投影片“回顾与思考”A）
第二张：知识框架图（记作投影片“回顾与思考”B）
学生用具：
剪刀、正方形纸片.
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情景，引入新课
［师］到今天为止，我们学习完了第七章：生活中的轴对称，由这一章的学习，知道了我们生活在图形的世界中，由于有轴对称图形，而使得生活丰富多彩.
在本章丰富的活动中认识理解了轴对称的基本性质.这节课我们就来共同回顾这一章的内容.
Ⅱ.讲授新课
［师］大家先来回顾本章的内容，然后小组讨论，总结本章知识，再回答以下问题（出示投影片“回顾与思考”A）
1.举出生活中轴对称的例子.
2.举例说明轴对称有哪些性质？
3.指出角、线段、等腰三角形的对称轴，每个图形的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？
4.分别找出具有一条、两条、三条、四条对称轴的图形.
［生甲］家中的床、书柜、衣柜等家具都是轴对称图形.
［生乙］一些建筑物、汽车、飞机等都是具有对称轴的图形.
［生丙］还有我们书中提到的：如：枫叶、双喜字、脚印、树与其在水中的倒影等.
……
［师］同学们认识了生活中这么多的轴对称图形，真棒，那它们有哪些性质呢？
［生丁］轴对称图形中的对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角也相等.
［生戊］也可以说：沿一条直线对折后，直线两旁的部分或图形能完全重合.
［师］很好，在轴对称图形中，我们还研究了一些基本图形的轴对称性及相关性质，那大家想一想第3个问题.
［生甲］角的对称轴是它的角平分线所在的直线.
［生乙］线段的对称轴有两条：一条是它本身所在的直线，另一条是线段的垂直平分线.
［生丙］等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
［生丁］等腰三角形的对称轴也可以说是底边上的中线所在的直线或底边上的高所在的直线.因为等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
［生戊］每个图形的对称轴与这个图形的位置关系如图7－39所示：
图7－39
（1）图的对称轴平分这个角.
（2）图的对称轴平分垂直线段AB；还可以说它的对称轴与本身重合.
（3）图的对称轴平分顶角∠BAC，或垂直底边BC，或平分底边BC.
对称轴两旁的部分能够互相重合.
［师］同学们讨论、归纳得很好.下面看第4个问题，你能举出例子吗？
［生甲］等腰三角形的对称轴只有一条.
矩形的对称轴有两条.
等边三角形的对称轴有三条.
正方形的对称轴有四条.
［生乙］等腰梯形的对称轴也有一条.
线段的对称轴有两条.
［生丙］角的对称轴只有一条.
［师］同学们能运用例子说明自己对有关知识的理解，很好.下面我们分组。
交流，梳理本章的内容，来建立知识框架.
（学生分组交流、讨论，教师适当作指导）
［师］好，下面我们共同来建立本章的知识框架图.（教师可光引导，板书，然后出示投影片“回顾与思考”B ）
［师］接下来我们通过做练习以巩固本章的知识.
Ⅲ.课堂练习
（一）课本P 131复习题A 组 1、2、3、4、5.
1.找出下列图形中的轴对称图形，并指出它们的对称轴.
答案：（2）（3）（5）是轴对称图形.
（2）中有六条对称轴，（3）中有4条对称轴，（5）中有4条对称轴
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2.将一张纸对折后，用笔尖扎出一个你喜欢的图案，将纸打开，观察得到的图案，你发现了什么？
答案：通过操作、观察发现：得到的图案是以折痕为对称轴的轴对称图形（或两个图形成轴对称，以折痕为对称轴）.
3.将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折.用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，与同伴交流你的作品，你的作品中有几条对称轴？
答案：至少有两条对称轴.
4.在26个英文大写字母中，有些字母可以看成是轴对称的，请你找出来，你能找到轴对称的汉字吗？
答案：A 、B 、C 、D 、E 、H 、I 、K 、M 、O 、T 、U 、V 、W 、X 、Y 等都可以看成是轴对称的.
“一、中、画、日、田、木、出”等都可以看成是轴对称图形.
5.以虚线为对称轴画出图的另一半
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